라디안 (호도법에 의한 각도의 단위)

라디안은 각도를 길이의 개념으로 바꿔 편리해진다.

1°와 2를 동일한 수직선(number line)에 표시할 수 있을까요?

불가능하죠. 이유는 간단합니다. 1°≠1이므로 1°와 2의 크기를 직접 비교할 수 없기 때문이죠. 어느 쪽이 더 크고 작다고 말 할 수 없습니다. 만약 1°를 길이의 개념을 갖는 수로 변환한다면 사용하는데 편리해질 것입니다.

어떻게 각도를 길이의 개념으로 변환할 수 있을까요?

라디안을 만들어서 그 목적을 이루었죠. 라디안은 아래 왼쪽 그림과 같이 약속되어 있습니다.

위 그림과 같이 동일한 원에서 반지름과 원호의 길이가 같을 때 중심각을 1라디안으로 정해 놓았습니다. 각도와 길이를 대응시켜 각도를 길이 크기의 개념으로 변환할 수 있게 만든 셈이죠.

위의 그림에서 원둘레를 직선상에 펼쳐놓으면 오른쪽과 같겠죠. 원 한 바퀴, 즉 360°와 2π 라디안은 같은 의미로 표현될 수 있겠군요!

그런데 일반적인 수직선에 바로 나타내는 것은 문제가 있어 보입니다. 만약 반지름이 3(이 수는 바로 수직선에 나타낼 수 있는 수입니다)이라면 1라디안은 3의 크기를 갖게 됩니다. 이 때 1라디안을 수직선에 나타낸다면 실제로 그 크기는 1이 아니고 3이죠. 반지름이 100이라면 1라디안은 100의 크기를 갖게 됩니다. 따라서 이대로 일반적인 수직선에 나타내는 것은 어렵겠죠.(구지 수직선으로 표현한다면 각도만 나타내는 수직선이 되어 버리겠죠. 실수와 섞어서 나타낼 수 없습니다. 그러면 각도(°)와 다를 게 없죠)

그러나 한 가지 편리한 점이 보입니다. 원호의 길이를 계산할 때 라디안에 반지름을 곱해주면 바로 원호의 길이가 되겠네요. 반지름이 r이고 각이 2라디안인 원호의 길이(L)는 L=rθ , L=2r과 같이 바로 계산할 수 있습니다. 만약 2°라면 원호를 바로 구하는 것이 쉽지 않습니다. L=2r과 같은 연산방법은 있을 수 없습니다. 만약 이와 같은 방법으로 계산한다면 반지름이 r인 원둘레의 길이는 r×360°=360r과 같은 엉터리 결과가 나오겠죠. 원운동에서 선속도(v)=각속도(ω)×반지름(r)과 같은 식은 ω=θ/t, L=rθ, v=L/t로부터 유도되는데, θ가 각도(°)로 표현된다면 엉터리가 되겠죠.

이제는 일반적인 수직선(number line)에 바로 라디안을 나타낼 수 있는 방법을 알아보죠.

위의 그림과 같이 반지름이 1인 원에서 1라디안은 수직선에 나타낼 때, 일반적인 수직선에 표시되는 1과 반지름 1은 동일하고, 이 반지름 1과 원호의 길이 1은 동일한 크기의 수이고, 이 각도의 크기가 바로 1라디안으로 표현되므로 수직선에 1라디안으로 나타내면 실수 1과 동일하겠죠. 이제는 각도를 일반적인 수직선에 그대로 표현할 수 있습니다.

반지름이 1인 원둘레의 크기는 2π입니다. 여기에서 2π가 원 한 바퀴에 해당하므로 360°를 대신해서 각도로 표현될 수 있고 수직선에서 실수의 크기로 나타낼 수 있게 되겠죠. 물론 각도(°)와 라디안(rad)은 서로 변환도 가능해지게 되겠죠.

예를 들어

1°는

와 같이 되고

1 rad는

와 같이 서로 환산될 수 있습니다.

여기에서 서로 환산되는 것이지 360°=2π는 잘못된 표현입니다.

음수에 대응되는 각도는 아래와 같이 약속하면 각도와 실수는 일대일 대응이 되겠죠.

반지름이 1인 원에서 반지름의 한 끝은 원점 0에 고정하고 다른 끝점은 원 둘레를 지나도록 회전시킬 때, 시계반대 방향으로 회전시키면서 생기는 각을 양의 방향으로 정하고 시계방향으로 회전시킬 때를 음의 방향으로 정하였다고 한다면 각각의 모든 각을 라디안으로 표현하여 수직선에 나타낼 수 있습니다.

라디안은 원운동과 삼각함수에서 주로 이용됩니다. 사인(sine), 혹은 코사인(cosine)함수는 위의 그림과 같이 1의 크기를 갖는 반지름이 회전하면서 각(라디안)에 따라 원둘레와 만나는 점, (x, y) 좌표가 존재하게 됩니다. 각(라디안)과 y 좌표를 대응시킨 것이 사인함수이고, x 좌표와 대응시킨 것이 코사인함수입니다.

각을 라디안으로 나타내면 사인 또는 코사인 함수를 x,y축이 모두 실수인 xy 좌표평면으로 표현하는 것이 가능해지고 원호를 구하는 등의 연산이 간편해질 수 있는 측면이 있겠네요. 그런데 실생활에서는 오히려 불편합니다. 60°일 때 계산기로 sin(π/3)보다 sin60이 편하겠죠.

 

 

출처 : http://blog.naver.com/gt7461/110118809416